回归树的原理及其 Python 实现

提到回归树,相信大家应该都不会觉得陌生(不陌生你点进来干嘛[捂脸]),大名鼎鼎的 GBDT 算法就是用回归树组合而成的。本文就回归树的基本原理进行讲解,并手把手、肩并肩地带您实现这一算法。

完整实现代码请参考 github: https://github.com/tushushu/Imylu/blob/master/regression_tree.py

1. 原理篇

我们用人话而不是大段的数学公式,来讲讲回归树是怎么一回事。

1.1 最简单的模型

如果预测某个连续变量的大小,最简单的模型之一就是用平均值。比如同事的平均年龄是 28 岁,那么新来了一批同事,在不知道这些同事的任何信息的情况下,直觉上用平均值 28 来预测是比较准确的,至少比 0 岁或者 100 岁要靠谱一些。我们不妨证明一下我们的直觉:

  1. 定义损失函数 L,其中 y_hat 是对 y 预测值,使用 MSE 来评估损失:
     L = -Largefrac{1}{2}normalsizesum_{i=0}^m(y_i-hat{y}) ^ 2
  2. 对 y_hat 求导:
     large frac{mathrm{d}L}{mathrm{d}hat{y}} normalsize = sum_{i=0}^m(y_i-hat{y}) = sum_{i=0}^my_i - sum_{i=0}^mhat{y} = sum_{i=0}^my_i - m*hat{y}
  3. 令导数等于 0,最小化 MSE,则:
     sum_{i=0}^my_i - m*hat{y} = 0
  4. 所以,
     hat{y} = Largefrac{1}{m}normalsizesum_{i=0}^my_i
  5. 结论,如果要用一个常量来预测 y,用 y 的均值是一个最佳的选择。

1.2 加一点难度

仍然是预测同事年龄,这次我们预先知道了同事的职级,假设职级的范围是整数1-10,如何能让这个信息帮助我们更加准确的预测年龄呢?

一个思路是根据职级把同事分为两组,这两组分别应用我们之前提到的“平均值”模型。比如职级小于 5 的同事分到A组,大于或等于5的分到 B 组,A 组的平均年龄是 25 岁,B 组的平均年龄是 35 岁。如果新来了一个同事,职级是 3,应该被分到 A 组,我们就预测他的年龄是 25 岁。

1.3 最佳分割点

还有一个问题待解决,如何取一个最佳的分割点对不同职级的同事进行分组呢?

我们尝试所有 m 个可能的分割点 P_i,沿用之前的损失函数,对 A、B 两组分别计算 Loss 并相加得到 L_i。最小的 L_i 所对应的 P_i 就是我们要找的“最佳分割点”。

1.4 运用多个变量

再复杂一些,如果我们不仅仅知道了同事的职级,还知道了同事的工资(貌似不科学),该如何预测同事的年龄呢?

我们可以分别根据职级、工资计算出职级和工资的最佳分割点P_1, P_2,对应的Loss L_1, L_2。然后比较L_1和L2,取较小者。假设L_1 < L_2,那么按照P_1把不同职级的同事分为A、B两组。在A、B组内分别计算工资所对应的分割点,再分为C、D两组。这样我们就得到了AC, AD, BC, BD四组同事以及对应的平均年龄用于预测。

1.5 答案揭晓

如何实现这种1 to 2, 2 to 4, 4 to 8的算法呢?

熟悉数据结构的同学自然会想到二叉树,这种树被称为回归树,顾名思义利用树形结构求解回归问题。

2. 实现篇

本人用全宇宙最简单的编程语言——Python实现了回归树算法,没有依赖任何第三方库,便于学习和使用。简单说明一下实现过程,更详细的注释请参考本人github上的代码。

2.1 创建Node类

初始化,存储预测值、左右结点、特征和分割点

class Node(object):
    def __init__(self, score=None):
        self.score = score
        self.left = None
        self.right = None
        self.feature = None
        self.split = None

2.2 创建回归树类

初始化,存储根节点和树的高度。

class RegressionTree(object):
    def __init__(self):
        self.root = Node()
        self.height = 0

2.3 计算分割点、MSE

根据自变量X、因变量y、X元素中被取出的行号idx,列号feature以及分割点split,计算分割后的MSE。注意这里为了减少计算量,用到了方差公式:
 D(X) = E{[X-E(X)]^2} = E(X^2)-[E(X)]^2

def _get_split_mse(self, X, y, idx, feature, split):
    split_sum = [0, 0]
    split_cnt = [0, 0]
    split_sqr_sum = [0, 0]

    for i in idx:
        xi, yi = X[i][feature], y[i]
        if xi < split:
            split_cnt[0] += 1
            split_sum[0] += yi
            split_sqr_sum[0] += yi ** 2
        else:
            split_cnt[1] += 1
            split_sum[1] += yi
            split_sqr_sum[1] += yi ** 2

    split_avg = [split_sum[0] / split_cnt[0], split_sum[1] / split_cnt[1]]
    split_mse = [split_sqr_sum[0] - split_sum[0] * split_avg[0],
                    split_sqr_sum[1] - split_sum[1] * split_avg[1]]
    return sum(split_mse), split, split_avg

2.4 计算最佳分割点

遍历特征某一列的所有的不重复的点,找出MSE最小的点作为最佳分割点。如果特征中没有不重复的元素则返回None。

def _choose_split_point(self, X, y, idx, feature):
    unique = set([X[i][feature] for i in idx])
    if len(unique) == 1:
        return None

    unique.remove(min(unique))
    mse, split, split_avg = min(
        (self._get_split_mse(X, y, idx, feature, split)
            for split in unique), key=lambda x: x[0])
    return mse, feature, split, split_avg

2.5 选择最佳特征

遍历所有特征,计算最佳分割点对应的MSE,找出MSE最小的特征、对应的分割点,左右子节点对应的均值和行号。如果所有的特征都没有不重复元素则返回None

def _choose_feature(self, X, y, idx):
    m = len(X[0])
    split_rets = [x for x in map(lambda x: self._choose_split_point(
        X, y, idx, x), range(m)) if x is not None]

    if split_rets == []:
        return None
    _, feature, split, split_avg = min(
        split_rets, key=lambda x: x[0])

    idx_split = [[], []]
    while idx:
        i = idx.pop()
        xi = X[i][feature]
        if xi < split:
            idx_split[0].append(i)
        else:
            idx_split[1].append(i)
    return feature, split, split_avg, idx_split

2.6 规则转文字

将规则用文字表达出来,方便我们查看规则。

def _expr2literal(self, expr):
    feature, op, split = expr
    op = ">=" if op == 1 else "<"
    return "Feature%d %s %.4f" % (feature, op, split)

2.7 获取规则

将回归树的所有规则都用文字表达出来,方便我们了解树的全貌。这里用到了队列+广度优先搜索。有兴趣也可以试试递归或者深度优先搜索。

def _get_rules(self):
    que = [[self.root, []]]
    self.rules = []

    while que:
        nd, exprs = que.pop(0)
        if not(nd.left or nd.right):
            literals = list(map(self._expr2literal, exprs))
            self.rules.append([literals, nd.score])

        if nd.left:
            rule_left = copy(exprs)
            rule_left.append([nd.feature, -1, nd.split])
            que.append([nd.left, rule_left])

        if nd.right:
            rule_right = copy(exprs)
            rule_right.append([nd.feature, 1, nd.split])
            que.append([nd.right, rule_right])

2.8 训练模型

仍然使用队列+广度优先搜索,训练模型的过程中需要注意:

  1. 控制树的最大深度max_depth;
  2. 控制分裂时最少的样本量min_samples_split;
  3. 叶子结点至少有两个不重复的y值;
  4. 至少有一个特征是没有重复值的。
def fit(self, X, y, max_depth=5, min_samples_split=2):
    self.root = Node()
    que = [[0, self.root, list(range(len(y)))]]

    while que:
        depth, nd, idx = que.pop(0)

        if depth == max_depth:
            break

        if len(idx) < min_samples_split or \
                set(map(lambda i: y[i], idx)) == 1:
            continue

        feature_rets = self._choose_feature(X, y, idx)
        if feature_rets is None:
            continue

        nd.feature, nd.split, split_avg, idx_split = feature_rets
        nd.left = Node(split_avg[0])
        nd.right = Node(split_avg[1])
        que.append([depth+1, nd.left, idx_split[0]])
        que.append([depth+1, nd.right, idx_split[1]])

    self.height = depth
    self._get_rules()

2.9 打印规则

模型训练完毕,查看一下模型生成的规则

def print_rules(self):
    for i, rule in enumerate(self.rules):
        literals, score = rule
        print("Rule %d: " % i, ' | '.join(
            literals) + ' => split_hat %.4f' % score)

2.10 预测一个样本

def _predict(self, row):
    nd = self.root
    while nd.left and nd.right:
        if row[nd.feature] < nd.split:
            nd = nd.left
        else:
            nd = nd.right
    return nd.score

2.11 预测多个样本

def predict(self, X):
    return [self._predict(Xi) for Xi in X]

3 效果评估

3.1 main函数

使用著名的波士顿房价数据集,按照7:3的比例拆分为训练集和测试集,训练模型,并统计准确度。

@run_time
def main():
    print("Tesing the accuracy of RegressionTree...")
    # Load data
    X, y = load_boston_house_prices()
    # Split data randomly, train set rate 70%
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, random_state=10)
    # Train model
    reg = RegressionTree()
    reg.fit(X=X_train, y=y_train, max_depth=4)
    # Show rules
    reg.print_rules()
    # Model accuracy
    get_r2(reg, X_test, y_test)

3.2 效果展示

最终生成了15条规则,拟合优度0.801,运行时间1.74秒,效果还算不错~

v2-f18bda130e08931020827c562c57f22e_hd

3.3 工具函数

本人自定义了一些工具函数,可以在github上查看 https://github.com/tushushu/Imy 1. run_time – 测试函数运行时间 2. load_boston_house_prices – 加载波士顿房价数据 3. train_test_split – 拆分训练集、测试机 4. get_r2 – 计算拟合优度

总结

回归树的原理:

损失最小化,平均值大法。 最佳行与列,效果顶呱呱。

回归树的实现:

一顿操作猛如虎,加减乘除二叉树。

 

原文:https://zhuanlan.zhihu.com/p/41688007

【关于作者】

李小文:先后从事过数据分析、数据挖掘工作,主要开发语言是Python,现任一家小型互联网公司的算法工程师。Github: https://github.com/tushushu

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